Bevis - Andengradspolynomiets rødder

Andengradspolynomiets rødder er givet ved


 * $$x=\frac{-b \pm \sqrt {d}}{2a},$$

Hvor d er diskriminanten


 * $$ d=b^2-4 \cdot a \cdot c $$

For at bevise det skrives en ordnet andengradsligning op

Der ganges med 4a på begge sider


 * $$4 \cdot a^2 \cdot x^2 + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + 4 \cdot a \cdot c=0 $$

Da $$4=2^2 $$ forkortes første led, så det bliver


 * $$(2 \cdot a \cdot x)^2+ 4 \cdot a \cdot b \cdot x + 4 \cdot a \cdot c=0 $$

Så lægges $$b^2$$ til på begge sider


 * $$(2 \cdot a \cdot x)^2+ 4 \cdot a \cdot b \cdot x +b^2+ 4 \cdot a \cdot c=0+b^2 $$

Vi ved fra vores første kvadratsætning at $$(a+b)^2=a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b $$

Og vi ved også at 4=2·2

Derfor kan vi forkorte de 3 første led til


 * $$(2 \cdot a \cdot x+b)^2+ 4 \cdot a \cdot c=b^2 $$

Så isoleres kvadratsætningen


 * $$(2 \cdot a \cdot x+b)^2=b^2- 4 \cdot a \cdot c $$

Da vi ved at


 * $$ d=b^2- 4 \cdot a \cdot c $$

kan det skrives om til


 * $$(2 \cdot a \cdot x+b)^2=d $$

Så tages kvadratroden på begge sider


 * $$2 \cdot a \cdot x+b=\pm \sqrt{d} $$

Til sidst isoleres x


 * $$x=\frac {-b \pm \sqrt{d}}{2 \cdot a} $$