Andensgradligningens rødder

Beviset blev udledet fra bog 1 opg. 54.3 side 177

Vi skal betragte andengradspolynomiumet $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminanten d≥0, og vi skal lade $$x_1$$ og :$$x_2$$ være rødderne i polynomiumet. brug formlen for rødderne til at udregne $$x_1+x_2$$ og $$x_1 \cdot x_2$$.

Vi skal herefter udregne: $$a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$$ og vise at det er lig med $$f(x)=ax^2+bx+c$$


 * :$$ax^2+bx+c=a \cdot (x-x_1)(x-x_2)$$

Først ganger vi panteserne sammen, så kommer til at se sådan her ud:


 * $$ax^2+bx+c=a \cdot (x^2-x \cdot x_2-x \cdot x_1+x_1 \cdot x_2)$$

Herefter ganger vi a ind i panteserne, hvilket giver os:


 * $$ax^2+bx+c=ax^2-ax \cdot x_2-ax \cdot x_1+ax_1 \cdot x_2$$

Og fordi vi har $$-ax \cdot x_2$$ og $$-ax \cdot x_1$$ kan vi derfor sætte det ind $$x_1$$ og $$x_2$$ ind i en pantes, dette giver os:


 * $$ax^2+bx+c=ax^2-ax(x_1+x_2)+ax_1 \cdot x_2$$

Og da vi ved løsningerne (x) er defineret ved: $$\frac {-b \pm \sqrt{d}} {2a}$$

De to løsningernes sum er $$\frac{-b}a$$, da


 * $$\frac {-b + \sqrt{d}} {2a}+\frac {-b - \sqrt{d}}{2a}$$ = $$\frac {-b + \sqrt{b^2-4ac}} {2a}+\frac {-b - \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$$

Under gennembygning